问题：一副扑克牌54张，随机打乱之后排成一叠，从上到下一次翻（摸）一张牌，直到翻到一张k为止。问:下一张牌是黑桃k的概率大还是黑桃3的概率大？

 

 

 

分析一下这个题目，可以发现题目有歧义（既然是条件概率，那已知的条件有哪些呢？）：

题目理解1。如果只有一个人在翻牌，那他肯定知道第一张k是不是黑k，也肯定知道黑3有没有翻出来，也肯定知道还剩多少张牌。有了这些数据，算下一张牌是黑3还是黑k的概率就容易些了。

题目理解2。如果有两个人，一个人翻牌，另一个人不许看。当翻牌的人翻出了第一张k，而且不告诉另一个人是什么k，且不告诉他翻了多少张之类的。仅仅告诉另一个人翻出了一张k。这时问另外一个人下一张牌是黑3的概率大还是黑k的概率大？

 

解答题目1：

（1）假如第一张k是黑k，且之前没有翻出黑3，则下一张是黑3的概率更大

（2）假如第一张k是黑k，且之前翻出了黑3，则下一张是黑3的概率和是黑k的概率相等，都是0.

（3）假如第一张k不是黑k，且之前翻出了黑3，则下一张是黑k的概率更大

（4）假如第一张k不是黑k，且之前没有翻出黑3，则下一张是黑k的概率和是黑3的概率相等。因为等概率分布，即没有翻出的牌在剩下的任意的位置上都是等概率分布。

 

解答题目2：

假设翻牌的人是A，计算概率的人是B。B只知道A在某个位置上翻出了第一张k，不知道具体的位置，也不知道是什么k。

因为是牌是等概率分布，B知道了翻出了第一张k，那他可以得出以下结论：

（0）任意选两张牌(确定的2张牌)，牌M和N，M在N之前被翻出来的概率是1/2.

（1）第一张k是黑k的概率是1/4。

（2）如果第一张k翻出之前已经翻出黑3的概率P大于1/4，那么下一张是黑k的概率更大。因为B不知道第一张k是什么k，因此P不是1/2.

下面计算P，

P=(C(54, 5)*4!*49!)/54! = 1/5

(计算P的思路是：先从54个位置里取出5个，第一个放黑3，其它四个把4个k全排列，剩下的49个位置给剩下的49张牌全排列)

所以翻出黑3的概率大。

 

 

网上有一种解法如下：

把一副洗好的牌（共 52 张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张 k 。下一张牌是黑桃 k 的可能性大还是黑桃 2 的可能性大？

答案：很多人可能会认为，下一张牌是黑桃 2 的可能性更大，因为刚才翻出的首张 k 可能就是黑桃k 。其实这种直觉是错误的。令人吃惊的是，下一张牌是黑桃 k 的概率与下一张牌是黑桃 2 的概率一样大，它们都等于 1/52 。

为了说明这一点，我们不妨来看一种同样能实现绝对随机的另类洗牌方式：先把一副牌中的黑桃 k 抽出来，随机洗牌打乱剩下 51 张牌的顺序，然后把黑桃 k插回这摞牌中（包括最顶端和最底端在内，共有 52 个可以插入的位置）。显然，黑桃 k 正好插到了这摞牌的首张k 下面有 1/52 的可能性。同样的道理，首张 k 下面是黑桃 2 的概率也是 1/52 。事实上，任何一张牌都有可能出现在首张 k 的下面，它们出现的概率是相等的，都等于 1/52 。

 

这个答案的错误之处在于：它计算首张k之下黑k的概率的时候，默认认为首张k不是黑k。这歪曲了题意。